Nativo di Bari, Domenico Celi apparteneva alla sezione di Campobasso, ma dalla stagione 2010-11 è tornato alla sezione di Bari. Dopo aver messo assieme 61 presenze in serie C1 nei cinque anni di militanza, nel 2006, per decisione dell’allora designatore Claudio Pieri, approda nella massima categoria arbitrale. Ha debuttato nella massima serie italiana il 3 dicembre 2006, dirigendo la partita Torino-Empoli. L’anno successivo è decorato con il Premio “Giorgio Bernardi”, destinato al miglior giovane arbitro debuttante in serie A.
Nel maggio 2008 è protagonista di un episodio discusso: durante la partita di serie A Roma-Torino, non espelle per doppia ammonizione l’argentino Hernan Dellafiore, a cui viene però mostrato per due volte il cartellino giallo. L’arbitro pugliese avrebbe poi ammesso l’errore tecnico, ma la gara non sarebbe stata ripetuta. Celi è stato inoltre l’arbitro che ha espulso per la prima volta José Mourinho in Serie A, durante Inter-Sampdoria. Al termine della stagione sportiva 2012-2013 ha diretto 92 partite in serie A. Il 3 luglio 2010, con la scissione della C.A.N. A-B in C.A.N. A eC.A.N. B, viene inserito nell’organico della C.A.N. A.
In Serie A ha arbitrato 93 partite rifilando ben 419 gialli, 13 rossi per doppia ammonizione, 17 rossi diretti e 39 rigori.
Ha arbitrato la Roma in Serie A soltanto 5 volte: nel 2007/2008 Roma-Torino 4-1; nel 2010/2011 Cagliari-Roma 5-1; nel 2011/2012 Roma-Atalanta 3-1 e Napoli-Roma 1-3; nel 2012/2013 Sampdoria-Roma 3-1. Le partite sono finite tutto con più di 3 goal. Sarà la prima volta che incontrerà la Roma in questa stagione.
Il Cagliari invece ha incrociato il fischiatto barese per ben 11 volte da cui sono scaturite 7 vittorie, 1 pareggio e 3 sconfitte.
